2001-2002 թվանանին սկսել է ֆուտբոլ խաղալ Պասադենա ֆուտբոլային քոլեջում, որտեղ սովորեց 1 տարի։ Առաջին պրոֆեսիոնալ պայմանագիրը կնքել է 2006 թվականին Կանզաս Սիթի ակումբի հետ, որի կազմում անցկացրել է 28 խաղ և խփել 5 գնդակ։ 2007 թվականին Յուրան պայմանագիր է կնքում Ռեալ Սոլտ-Լեյկ ակումբի հետ, որի կազմում անցկացնում է 2 սեզոն և 53 խաղում խփում 15 գնդակ։ Այդ ընթացքում Յուրա Մովսիսյանը նաև դառնում է MLS-ի չեմպիոն։ Տաղանդավոր խաղացողի նկատմամբ սկսում է հետաքրքրություն ցուցաբերել Դանիայի բարձրագույն դիվիզիոնը ներկայացնող Ռանդերս ակումբը, որտեղ հանդես էր գալիս Հայաստանի հավաքականի անդամ Ռոբերտ Արզումանյանը։ Մրցաշարային աղյուսակում վտանգավոր գոտում «ամրապնդված» ակումբը 2009 թվականին պայմանագիր է ստորագրում Յուրա Մովսիսյանի հետ, որի խփած 7 գոլերը առաջնության մնացած 13 խաղում օգնեցին Ռանդերսին պահպանել տեղը Դանիայի բարձրագույն առաջնությունում։
2010 թվականի օգոստոսի 11-ին Մովսիսյանը իր առաջին հանդիպումը անցկացրեց Հայաստանի ֆուտբոլի ազգային հավաքականի կազմում։ Հրազդանի մարզադաշտում կայացած Հայաստան-Իրան հանդիպումը ավարտվեց Իրանի ֆուտբոլիստների հաղթանակով ` 3-1 հաշվով, իսկ Յուրան խազադաշտում անցկացրեց ընդամենը 15 րոպե, ինչը պայմանավորված էր թեթև վնասվածքով։2010թ-ի սեպտեմբերի 3-ին Յուրա Մովսիսյանը իր առաջին գնդակն է խփում Հայաստանի հավաքականի կազմում ` բացելով հաշիվը Մակեդոնիայի հետ արտագնա խաղում, որն ավարտվեց ոչ-ոքի ` 2-2։
Մովսիսյանը մեկական գոլի հեղինակ դարձավ նաև Սլովակիաի և Անդորրայի հավաքականների հետ խաղում ` օգնելով Հայաստանի ֆուտբոլի ազգային հավաքականին հաղթանակ տոնել այդ խաղերում։
Հայաստանի հավաքականում անցկացրած 4 պաշտոնական խաղերում հեղինակած 3 գնդակներից հետո Յուրա Մովսիսյանով սկսում են հետաքրքրվել մի շարք եվրոպական թիմեր, որոնց շարքում էին իսպանական Էսպանյոլը, Կիևի Դինամոն, մոսկովյան Լոկոմոտիվը և Կազանի Ռուբինը։ Սակայն ձմեռային տրանսֆերային պատուհանի փակվելուց մի քանի օր առաջ հայտնի է դառնում որ Մովսիսյանը պայմանագիր է կնքել Ռուսաստանի Պրեմիեր լիգայի նորեկ Կրասնոդար ՖԱ թիմի հետ։
